Convertir matrices de Matlab a LaTeX

Recomiendo este código para convertir matrices, arreglos dimensiónales, a cuadros para ser compilados en LaTeX y obtener una bonita presentación.

El código es muy simple de emplear y se encuentra bien documentado. Su licencia permite hacer modificaciones.

Matlab es uno de los programas más poderosos para la aplicación de las matemáticas; mientras que LaTeX es un procesador de palabras especialmente pensado para desplegar en excelente tipografía artículos y libros de física, química, matemáticas, entre otras disciplinas.

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una distinta forma de ver una gota de agua


Una fotografía de alta velocidad de una gota de agua impactando sobre una piscina de agua, mostrando la formación de una segunda gota. Cunado la gota cae sobre el agua, se forma un cráter; entonces, súbitamente, los alrededores de agua llenan el espacio, el agua colisiona y crea una columna. La tensión superficial del agua a lo largo de la columna produce la segunda gota. Frentes de ondas circulares que se extienden hacia fuera rodean el centro de impacto.

Eclipse solar


La delicada belleza de la atmósfera exterior del Sol, la corona solar, es captura en esta fotografía por el astrónomo Fred Espenak, en un eclipse solar total el 11 de agosto de 1999.

Los eclipses solares cuando la Luna pasa a través de la Tierra y el Sol. Cuando la Luna cubre completamente la cara del Sol por varios minutos, la corana solar se hace visible. La corona no se puede apreciar en un día solado debido al resplandor de la cara del sol.

VI escuela de optica moderna (INAOE)


Tuve la oportunidad de asistir a la VI escuela de óptica moderna, que organiza el INAOE. En esta reunión asistieron personas muy importantes en el campo de la óptica, como

* Steven Jacques
Optica Biomédica
Oregon Medical laser Center
Universidad de Oregon

* Nelson Tabiryan
Cristales Líquidos
Beam Co.

* Glenn Boreman
Detectores Infrarrojos
CREOL
Universidad del Centro de Florida

* Klaus Meerholz
Physical Chemistry
University of Cologn


En la reunión se abordaron temes muy importantes. Pero creo que el que mas futuro tiene es la relación de los materiales en el desarrollo de las aplicaciones protónicas.

¿Podrán los blogs ser un complemento a los artículos científicos arbitrados?

Sin duda los bogs y los proyectos wiki han ganando mucha popularidad en el mundo académico y estudiantil, pues confinen una gran variedad de temas. Sin embargo, los profesionales del conocimiento científico aun les parece una pérdida de tiempo.

A los científicos se les paga por generar patentes, es decir desarrollo que pueden ser explotados mercantilmente, tal es el caso del desarrollo de los leds. Pero también por la realización de artículos, los cuales son revisados, arbitrados para su publicación en una revista internacional y especializada en el tema.

Las páginas web en todos los formatos, son hasta ahora, una carta de presentación o una extensión de comunicación muy somera. Pues la información que se coloca en estos sitios no pasa por una rigurosa revisión. Por ello no se les considera oficialmente para el prestigio académico de un científico.

Sin embargo, por el número elevado de revistas y publicaciones arbitradas, hay una carencia de especialistas que puedan calificar un trabajo científico. Es en tal nicho donde la revisión de la comunidad científica en cierto tema, puede ser muy útil como un complemento para el desarrollo de la ciencia.

En la siguiente liga se aborda un poco más este tema:

http://www.nature.com/nature/journal/v438/n7068/full/438548a.html

Conversión súbita de agua en hielo.

Estados termodinámicos meta-estables.

Cuando un cono se coloca en una mesa, de modo que la base del cono toca la madera, sabemos que el cono esta en un estado mecánicamente estable. Es decir, a pequeñas perturbaciones no cambiara, no se caerá el cono.

Por otro lado, si intentamos parar el cono al poner la punta en la mesa, cualquier perturbación será suficiente para alterarlo, tirar el cono.

En la naturaleza hay muchas clases de estados estables, no solo mecánicos, también pueden ser termodinámicos.

Este es el caso del siguiente video, donde el liquido no se encuentra en un estado estable, tal vez, se encuentra en un estado donde una perturbación con germinada energía es suficiente para cambiar su fase liquida a una fase sólida, de modo subido.


Micro manipulación óptica.

Encontre este articulo en un lugar algo extraño. Pero el tema es muy interesante. La luz como un medio para mover objetos, como en el cine!

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Atrapan con láser cristal, virus y células

Grupo Reforma / Ciencia / Patricia López Suárez. Utilizando únicamente luz, es posible atrapar partículas de vidrio o látex, de células y de virus.

No es una misión cualquiera. Es una tecnología llamada de pinzas ópticas, que se desarrolla en México para profundizar los estudios sobre la luz y para ofrecer una herramienta útil en el manejo de pequeñísimos fragmentos de materiales delicados sin dañarlos.

"Una pinza óptica es un dispositivo que, mediante un láser, permite atrapar objetos microscópicos de tamaños que van desde fracciones hasta decenas de micra, medida equivalente a una milésima de milímetro", explica la doctora en física Karen Volke Sepúlveda, responsable del Laboratorio de Pinzas Ópticas del Instituto de Física de la UNAM, sitio donde se experimenta la técnica desde 2003. "Son partículas mucho más pequeñas que un cabello humano, cuyo grosor es de 50 a 150 micras".

Las pinzas ópticas se basan en la manipulación de un haz de luz que utiliza sus cualidades eléctricas para atraer y atrapar moléculas en las que puede penetrar (por ejemplo, si son paredes celulares), o a las que puede cortar o transportar, como el material genético (ADN), que no se atrapa directamente pero se puede conducir con las pinzas utilizando como vehículo a partículas de vidrio.

"Se les llama pinzas por su capacidad de atrapar, no porque tengan forma de tenazas. Se trata de un solo láser que se dirige de forma muy precisa para atrapar partículas de interés", explica Volke, quien pertenece al grupo de Óptica Cuántica y Microcontrol Óptico.

Para los biólogos las pinzas ópticas se perfilan como una herramienta de trabajo para estudiar tejidos como los organelos de una célula, las moléculas de un virus o el mecanismo de transporte de una enzima, mientras para los médicos es una tecnología de alta precisión útil en microcirugía y en la aplicación de métodos de reproducción asistida.

"Para los físicos son una forma de estudiar teórica y experimentalmente la propagación de la luz y su interacción con materiales microscópicos, sean biológicos o inorgánicos", enfatiza Volke sobre el eje de su investigación.

Atracción por lo intenso

La acción de atrapar es posible por las propiedades de la luz, que se comporta, a la vez, como una onda y como una partícula.

"Como onda, la luz tiene campos electromagnéticos que están vibrando con una frecuencia muy alta. Los átomos que componen la partícula también tienen propiedades eléctricas, una carga positiva concentrada en el núcleo y otra negativa en los extremos", dice Volke.

Estas interacciones eléctricas hacen que las partículas se vayan hacia la región de máxima intensidad de luz, ubicada en el centro luminoso.

"Si enfocamos un haz de luz, como hacen los niños al dirigir la luz del Sol con una lupa hasta quemar a una hormiga, pero utilizamos lentes de microscopio muy potentes que enfocan la luz en un punto extremadamente pequeño, logramos atrapar las partículas en el punto focal, que es el mismo donde los niños logran quemar a la hormiga", afirma.

El desarrollo de una pinza óptica se logra en un laboratorio con equipo de alta precisión. El proceso inicia con la emisión de un láser, que puede ser verde para atrapar material inorgánico, pero requiere ser infrarrojo para capturar tejido biológico vivo sin dañarlo.

El haz se conduce a través de un camino de al menos tres espejos.

"Utilizamos dos espejos normales, que dirigen casi toda la luz que reciben; y un tercer espejo dicroico, el cual es selectivo y sólo refleja la emisión del láser y deja pasar la que no proviene de ese haz", dice la experta.

Al final del camino de espejos, el láser llega a un microscopio dotado de una lente extremadamente potente.

"El microscopio cumple dos funciones: por un lado enfoca al láser para lograr la intensidad que requiere la pinza óptica y por otro nos permite ver las partículas mientras son atraídas y atrapadas por la luz", dice Volke.

Las partículas a analizar se colocan en el portaobjetos del microscopio, hacia donde se enfoca el láser.

Una cámara adaptada al microscopio registra el proceso de captura y conduce su señal hacia una computadora que amplifica el proceso en un monitor.

Las aplicaciones de pinzas ópticas incluyen usos en ingeniería genética y microcirugía, pero Volke centra su estudio en las propiedades dinámicas de los haces luminosos, que tienen diferentes geometrías, como la elíptica y la parabólica.

"Nos interesa saber cómo la luz hace rotar a las partículas", finaliza.

Parten de la presión


Las pinzas ópticas fueron creadas en 1986 por el físico estadounidense Arthur Ashkin en los Laboratorios Bell.

En 1970, interesado en medir la presión que ejerce la radiación luminosa sobre ciertas partículas, el científico reportó que éstas se pueden empujar en la dirección de propagación de un haz de luz láser luego de ser atraídas hacia el eje del haz. Durante sus experimentos, Ashkin también observó que además de atraerlas y empujarlas, el láser también puede atrapar las partículas. Así ideó el concepto de "pinza óptica", un haz de luz láser que, en intensidades muy elevadas, captura partículas de origen inorgánico o biológico.

Desde 1986, científicos de varios países prueban aplicaciones de estas pinzas para manipular pequeñísimas porciones de materiales delicados sin dañarlos ni contaminarlos.

Precisión lumínica

Para lograr una pinza óptica se requiere un laboratorio de alta precisión con los siguientes elementos:

1 Un haz láser se emite desde una fuente.

2 Tres espejos que conducen el láser por una trayectoria definida.

3 Un microscopio de lente muy potente enfoca al láser y ve las partículas que se están atrapando con luz.

4 El material a atrapar se coloca en el portaobjetos del microscopio, hacia el cual se dirige el haz de luz láser.

5 Una cámara registra y graba el proceso.

6 Una computadora capta la señal de la cámara y muestra cómo las partículas son atrapadas por el láser.

Cómo funciona


Las partículas son atraídas hacia el centro del láser, donde está la mayor intensidad de luz. En ese sitio la pinza óptica las atrapa.

El principio de Arquímedes con cerveza

Este video me gusta porque muestra un aspecto de la ley de Arquímedes, un tema para los primeros semestres de la licenciatura. Si los cubos de hielo de una cerveza se derriten. ¿El nivel de la cerveza cambia, o permanece igual?. La respuesta teórica nunca me pareció trivial, en cambio los experimentos lo muestran tan evidente.

http://beta.blogger.com/post-edit.g?blogID=32235337&postID=115868953948737044#
Trabajos

Bola de agua en gravedad cero

Un piloto de NASA revienta un globo con agua, pero se encuentra en un sitio con gravedad muy pequeña, por lo que el agua conserva su forma redonda, esto es porque solo actúan en la estructura del agua las fuerzas de coacción de las moléculas y la forma esférica es la que consume menos energía para obtenerse. Al final del video, el agua se guarda en una bolsa, para evitar un accidente indeseable.

Agua hirviendo arrojada al aire

Este tipo arroja agua hirviendo al aire, el lìquido congela súbitamente, pues la temperatura de alrededor es de -40 grados centígrados. Esta clase de fenómenos se les conoce como cambios de fase y son ampliamente estudiándoos por la termodinámica. El control de cambios de fase por temperatura o presión nos da videos interesantes como este y materiales muy útiles que empleamos en la vida cotidiana.



¿Este proceso termodinámico puede considerarse adiabático o isocorico?, por supuesto no es isotérmico pues hay un cambio de temperatura ;)

Enlaces relacionados:


Carrera de globos observados rapidamente.



George Pólya: Estrategias para la Solución de Problemas.

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942.
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fué descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás

Las aportaciones de Pólya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático (I y II), y Matemáticas y Razonamiento Plausible (I y II).
Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. En suma, dejó los siguientes Diez Mandamientos para los Profesores de Matemáticas:
1.- Interésese en su materia.
2.- Conozca su materia.
3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades; póngase usted mismo en el lugar de ellos.
4.- Dése cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno mismo.
5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
6.- Permítales aprender a conjeturar.
7.- Permítales aprender a comprobar.
8.- Advierta que los razgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta.
9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes; déjelos encontrar por ellos mismos tánto como sea posible.
10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza.

El Método de Cuatro Pasos de Pólya.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre ejercicio y problema.
Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta.
Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.
Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: dividir.
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos,propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.
Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resúmen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro
Cómo Plantear y Resolver Problemas de este autor (está editado por Trillas).

Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comunmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4. -Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Reviss tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.


[De http://fractus.mat.uson.mx/Papers/Polya/Polya.htm]

Los diez mandamientos del Profesor
(según Polya)

  1. Demuestre interés por su materia. Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá.
  2. Domine su materia. Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será Vd. capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente. Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguiréis explicar algo claramente a vuestros estudiantes si antes no lo habéis comprendido perfectamente. De ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con algunos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor excepcionalmente malo.
  3. Sea instruído en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo. Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes : hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber, gracias a la experiencia de vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes.
  4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades; póngase en su lugar. Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La reacción del estudiante a vuestra enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.
  5. No les deis únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico. El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer". El saber hacer es el talento, es la habilidad en hacer uso de la información para un fin determinado; se puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el "saber hacer" se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se enseña.
  6. Enseñadles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos. El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico.
  7. Enseñadles a demostrar. "Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido.
  8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, a resolver otros problemas - intentad revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontáis. Cuando presentéis la solución de un problema, subrayad sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y vuestra solución puede transformarse en un modelo de resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros problemas.
  9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible. He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejad que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: "El secreto para ser aburrido es decirlo todo".
  10. No inculquéis por la fuerza, sugerid. Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejad que los estudiantes hagan preguntas; o bien planteadles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear. Dejad que los estudiantes den respuestas; o bien dad respuestas que ellos mismos sean capaces de dar.

Bibliografía

G.Pólya, The Pólya Picture Album. Encounters of a mathematician. Birkhäuser, 1987.
A. Arvai Wieschenberg, A conversation with George Pólya, en Mathematics Magazine,vol.60, no.5, Diciembre 1987, pp.265-268.
M.M.Schiffer, George Pólya (1887-1985), en Mathematics Magazine,vol.60, no.5, Diciembre 1987, pp.268-270 (necrológica de Pólya en la Universidad de Stanford, el 30 de octubre de 1987).



Un sitio de divulgacion cienfica, muy recomendable para los que les gusta el tema
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