¿Por qué siempre gana el casino aunque las probabilidades de ganar sean iguales?

LOS JUEGOS de azar son populares porque prometen ganancias rápidas y con poco esfuerzo a los apostadores. Sin embargo, esa promesa de riqueza suele ser válida solo para los casinos y casas grandes de apuestas. Efectivamente, apostar es un buen negocio para quien maneja un establecimiento. Pero, ¿por qué?, ¿hacen trampa los casinos?, ¿la promesa es una verdad a medias?
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Imaginemos “el juego de echar volados”: si cae cara ganamos una moneda, de otro modo perdemos una moneda; todos los tiros tienen el mismo monto apostado. Si al principio del juego, contamos con 10 monedas, y si lo hacemos contra un casino que solo cuenta con 10 monedas (muy hipotético caso). ¿Cómo nos va contra este casino?

Aplicando matemáticas con estar reglas de juego, encontramos que al tirar la moneda existen rachas ganadoras y perdedoras para el jugador. Como lo muestra la gráfica (A) de la figura que ilustra esta entrada. Basta con una racha perdedora consecutiva de 10 tiros para perder todas las monedas. Estas rachas largas son poco probables, pero no imposibles. Tienen una probabilidad de suceder de 1/2^10 = 1/1024. Pero de la misma forma, como muestra la gráfica (B) de la misma figura, unas cuantas rachas ganadoras permiten ganarle todas las monedas al casino. De hecho, la ganancia para el jugador –y la pérdida para el casino– es del 100%. En estas condiciones le conviene al jugador apostar, pues puede ganar todo el monto.

Sin embargo, ¿qué sucede cuando el casino tienen mucho más dinero que el jugador?; una situación más real. Por ejemplo, si el jugador tiene 10 monedas y el casino 1 millón. Pues el casino al tener más monedas tiene la oportunidad de soportar las buenas rachas del jugador; como lo muestra la gráfica (C) de la figura. Aún, rachas exageradas de aprox. 50 tiros ganados consecutivamente representan una perdida pequeña para el enorme monto que exhibe el casino. Efectivamente, en la gráfica (C) el jugador llega a ganar 150 monedas (después de muchos juegos), pero están cantidad no representa ni el 0.02% del monto original del casino; es una perdida ínfima para la casa de apuestas. Para el jugador (que comenzó con 10 monedas) esto es una enorme ganancia: 1500%.

Con todo, el jugador compulsivo que proponemos sigue apostando y se encuentra con rachas perdedoras, las que eventualmente lo llevan a perder todas sus monedas; como muestra la gráfica (C).

La moneda no está cargada, las probabilidades son las mismas en cada tiro: 50/50. Pero pueden suceder rachas donde un lado de la moneda se muestre muchas veces. Donde la pérdida para un casino rico es pequeña lo que le permite seguir jugando, pues eventualmente le ganará todo el dinero al ludópata de este ejemplo. De hecho, quitarle todo el dinero al jugador significa una ganancia pequeña para el casino; pero ha ganado todo; lo que le permitirá ganarle eventualmente a otro jugador ingenuo.

Para el jugador la única espereza es retirarse cuando tiene una racha ganadora, pero es imposible saber cuánto duran estas rachas. La tentación para mantenerse en el juego es mucha pero es la única salida en los juegos de azar. Pues el tiempo está a favor del casino rico.

Puedes acceder y usar mi código Octave/Matlab para hacer tus propios experimentos con estas condiciones o alterar el código para crear otras relaciones entre casinos y jugadores. Tal vez una te represente.

Preguntas para pensar:
¿Es mejor jugar de una sola vez el monto completo de las 10 monedas?, ¿es mejor jugar solo con nuestro monto o jugar acompañado del monto de otros jugadores (aunque se dividan las ganancias)?

Cadena que se acelera gracias a colisiones internas: compresión que causa tensión


EN LOS LIBROS de texto de física, ingeniería, matemáticas o química encontramos muchos problemas estándar resueltos. Estos ejemplos nos muestran una forma de buscar respuestas usando un pensamiento científico. Puede ser gratificante encontrar la solución que el libro sugiere, y es más emocionante cuando encontramos soluciones alternas a las del libro de texto. Tal es el caso del problema de una cadena cayendo sobre un montón de eslabones que tocaron el piso con anterioridad: ¿el eslabón que acaba de tocar la pila de eslabones estáticos afecta la velocidad de caída del resto de eslabones en movimiento? (mira la figura del problema). De acuerdo con el consenso general, la caída de la cadena es indiferente a los eslabones que tocan piso.

Sin embargo, Annop Grewal y amigos de la Universidad de Cornell en N.Y., creen que hay situaciones en que puede ser diferente esta respuesta. Hay casos donde el eslabón en contacto con el piso sigue interactuando con el resto de eslabones y puede jalarlos hacia abajo, aumentando la velocidad de caída de la cadena completa.

Ellos realizaron un modelo mecánico donde el largo del eslabón presenta un ángulo con la horizontal. De modo que un lado del eslabón toca el piso antes que el otro extremo. Al impactar con el piso, el eslabón ejerce efecto de pivote: una torca –una fuerza que depende del largo del eslabón y dicho ángulo– que jala hacia abajo al resto de los eslabones. De tal modo que esta cadena particular puede caer más rápido si toca piso que si cae libremente.

final de fotografía de esta carrera
entre cadenas 
Efectivamente, además de hacer las cuentas, ellos construyeron dos cadenas idénticas de palitos unidos con hilo, cada palito presenta un ángulo con la horizontal que se alterna con en el siguiente eslabón, mira la figura. Al dejar caer al mismo tiempo ambas cadenas, una impacta de lleno sobre una mesa (izq. de la figura); resultado que el final de esta cadena cae más rápido que su gemela en caída libre (der. de la figura). Mira experimento grabado con una cámara de alta velocidad.

De cierto que en una cadena ordinaria este efecto no se observa, pero el efecto es notable en esta cadena que parece una cuerda de tendedero con pinzas.

La realización de este experimento como su discusión teórica es interesante como proyecto semestral para estudiantes que inician sus estudios de física en una licenciatura. los detalles de este trabajo se pueden consultar en la revista oficial o puedes leer el borrador del artículo. En cualquier caso, tenemos un caso donde aún un libro de texto se puede complementar o corregir, así es la ciencia, es una caja abierta a la mejora continua. Como en el caso de los láseres... pero esa es otra historia para el blog.

Imágenes sucesivas del experimento con de las dos cadenas al dejarlas caer 

Ref.
ResearchBlogging.org Grewal, A., Johnson, P., & Ruina, A. (2011). A chain that speeds up, rather than slows, due to collisions: How compression can cause tension American Journal of Physics, 79 (7) DOI: 10.1119/1.3583481

Cuando los números desnudos mienten: el cuarteto de Anscombe

LOS ANÁLISIS estadísticos son útiles porque resumen un montón de cifras en un par de números significativos; por ejemplo: el promedio y la desviación estándar. La información de temas diversos (e.g. opiniones o inclinaciones de voto, tendencias económicas y fenómenos naturales) puede ser condensada en unos cuantos números, y de esa manera tomar una mejor decisión sobre algún asunto delicado: un tratamiento médico, una política de estado, etc.

Sin embargo, un análisis numérico en solitario es insuficiente; es indispensable obtener una visualización correcta de la distribución de los datos, una gráfica. Una imagen donde se representen los datos puede brindar más información en menos tiempo como asegura E. Tufte en sus famosos libros. Además permite intuitivamente descubrir estructuras en nuestra serie de datos. Efectivamente, una gráfica brinda el contexto necesario para tomar mejore decisiones y ser cuidadoso en evaluar nuestro modelos propuestos.

El cuarteto de Anscombe ejemplifica excelentemente este último caso. Pues muestra que cuatro conjuntos de datos con las mismas propiedades estadísticas pueden tener tendencias muy diferentes.

En una época cuando las computadoras personales empezaban a permear en la sociedad americana, cuando las programas de hojas de cálculo eran poco (muy poco) conocidos. Francis J. Anscombe publicó el artículo: Graphs in Statistical Analysis (1973). Ahí defendía la idea de usar métodos gráficos para complementar los análisis estadísticos.

Él presenta la siguiente tabla de números que contiene cuatro conjuntos de datos (de ahí el nombre de cuarteto), esencialmente, cada conjunto exhibe propiedades estadísticas idénticas: el promedio de los valores de X es 9.0, mientras que los valores de Y es de 7.5, sus variancias son casi idénticas, correlaciones y líneas ajustadas (al menos por dos lugares decimales).




Con todo, cuando graficamos los datos, sus tendencias son muy diferentes entre sí, como muestra la siguiente imagen.

Estas cuatro gráficas son muy diferentes, pero sus valores estadísticos coinciden. Da clic en la imagen para hacer más grande
Los datos del conjunto 1 presentan una dispersión general, pero se pueden ajustar a la recta. En contraste, los datos del conjunto 2 muestran una tendencia no lineal. Mientras que los datos del conjunto 3 forman una línea hay un dato disparado (outlier data). Finalmente, los datos del conjunto 4 tienen una tendencia de línea vertical pero un dato disparado hace que la línea de tendencia sea muy diferente de la vertical.

De cierto es que graficar los datos revela su estructura, muestra cuando el análisis presenta casos patológicos como el conjunto 4. Por ello, los análisis requieren tanto cálculos como gráficas. Y ambas salidas deben ser estudiadas, pues ambas contribuyen al entendimiento del fenómeno estudiado.

¿Qué es un dato disparado?

Es uno o varios datos que se separan mucho de promedio o la tendencia que muestra el conjunto de datos. Retirarlos implica dejar más en claro la tendencia; disminuye la desviación estándar. Pero, ¿Cuántos datos se deben retirar?, ¿Qué tan lejos debe estar un dato para considerarlo disparado? La respuesta para ambas preguntas carece de consenso. Así, para los conjuntos de datos 3 y 4 es claro que un solo punto esta disparado (para ambos casos); a simple vista conjunto 2 carece de datos disparados; pero del conjunto 1 son varios los puntos que pueden estar disparados.

Criterio de la distribución gaussiana.

¿Cómo están distribuidos los datos
en una campana de Gauss? La imagen
muestra esa concentración de información
En general, podemos pensar que los puntos se distribuyen simétricamente alrededor del promedio. Como una distribución gaussiana, la cual se puede definir a partir del promedio y de la desviación estándar de los datos. Pues bien, un círculo imaginario con un radio igual la desviación estándar contiene más de 68 % de los datos de la distribución (como ilustra la imagen), en este intervalo se concentra la mayoría de la información. Por tanto, lo que está fuera de este intervalo se puede descartar como un dato disparado. Ese es un criterio para limpiar nuestros datos.

Sin embargo, al reportar nuestros descubrimientos debemos mencionar la presencia de los datos disparados, La gráfica debe presentar los datos completos. Esta práctica no era la norma en 1970s y muchos no la siguen hoy en día. Posiblemente, esta falta de gráficas y datos disparados son los que han llevado a muchos profesionales a de la estadística a graves errores en sus predicciones, habrá que ver.

Ya en anteriores entradas había advertido del uso del factor de correlación como único criterio para ajustar una curva. Ahora, el cuarteto muestra un ejemplo concreto que los números por si solos son insuficientes, se require de elementos visuales para completar la información.

¿existirán más conjuntos de datos que compartan estadísticas similares y gráficas dispares?, ¿Cuál será la manera lógica de construirlas? Eso… será tema de otra historia para este blog.

Referencias.


Anscombe, F. (1973). Graphs in Statistical Analysis The American Statistician, 27 (1) DOI: 10.2307/2682899

Obtener el número Pi sin usar círculos: video y su guión



Guión del video.

Hola internet
¿Se puede obtener el número PI mediante experimentos físicos donde no hay círculos?
Aquí te presento algunos ejemplos.
La relación entre el diámetro de una circunferencia y su longitud es PI, que es un número con infinitos dígitos y que no se puede describir como la división de dos números enteros: por lo cual lo llamamos número irracional.
Podemos pensar en una circunferencia, una rueda de diámetro uno, cubierta una sola vez por un listón. Al hacer girar la rueda por una horizontal, se libera el listón cubriendo una distancia de PI veces el diámetro. Pero eso es solo una definición donde se emplea el círculo tangible.
Por otro lado, el movimiento de un péndulo simple solo forma una parte de una circunferencia imaginaria. Su periodo está relacionado a PI, si se conoce la constante de gravedad y la longitud del hilo se puede obtener este número fácilmente a partir de oscilaciones pequeñas. De hecho, todos los fenómenos periódicos se relacionan con el número PI. Por el solo hecho de repetirse en el tiempo completan un ciclo: una especie de circunferencia imaginaria.
Con todo, también en fenómenos aleatorios podemos obtener el, número PI, como en la aguja de Buffon.
¡No ese bufón!
La aguja de Buffon es un juego, donde se lanzan agujas, clavos o palillos sobre una mesa con varias líneas paralelas dibujadas. Cuando la distancia entre líneas es el doble que la longitud de los palillos. Entonces el número total de palillos entre el número de palillos que tocaron una línea es igual al número PI. Aquí no se dibujo ni un pedazo de circunferencia.
Más aún, tenemos un caso singular de choques elásticos. El experimento consiste de una masa grande que choca con una masa pequeña en reposo. En una superficie sin fricción. La masa pequeña choca después con una pared elástica, en su regreso la masa pequeña choca con la masa grande que sigue desplazándose. Los choques se repiten una y otra vez a mayor velocidad. Finalmente la masa grande se queda sin velocidad y luego la masa pequeña choca contra ella.
¿Cuántas colisiones sucedieron en total?
Hagamos una tabla. N es un contador, que si es cero implica que la masa grande será 16 veces la pequeña, por lo cual tendremos tres colisiones.
Para N igual a 1, la masa grande será 1,600 veces la pequeña, de modo que tendremos 31 colisiones.
Para N igual a 2, la masa grande será 160,000 veces la pequeña, de modo que tendremos 314 colisiones.
¡Ya vemos una tendencia¡
De hecho, Si la masa grande es 16 por cien a la N, en el número de colisiones tendremos 3 y N dígitos del número Pi. ¿Dónde está el círculo?
De modo que podemos obtener el número PI sin necesidad de círculos físicos. Solo pedazos de circunferencias escondidas e imaginarias.

Zonas más fotografiadas por la Estación Espacial Internacional: un mapa de metadatos

Si ponemos un punto en un mapa donde se ha tomado una foto de la Tierra que han tomado los astronautas orbitando al planeta ¿Qué podemos ver? Pues la siguiente imagen es una respuesta:


Utilizando datos de localización de más de un millón de fotos captadas por los astronautas de la Estación Internacional Espacial (ISS, por sus siglas en ingles) nos releva un mapamundi.

La mayoría de las fotos son de tierra adentro, líneas costeras, islas y ciudades son los blancos populares. De modo que se pueden formar los continentes. Seguramente, cada astronauta ha tomado, al menos, una foto de su pueblo natal.

La imagen es limpia y bien analizada, mejor aún, el autor, Nathan Bergey, presenta los datos para que cualquiera pueda analizar los datos y presenta otros mapas sobre el tema en su sitio.


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